테일러 전개(Taylor expansion)와 오일러 공식(Euler's formula)

Taylor Expansion

테일러 전개(Taylor Expansion)는

무한히 미분한 가능한 함수 $$ f(x) $$를 다항식들의 합으로 표현하는 방법이다.

 

일반화된 테일러 전개식은 아래와 같다.

$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^{n} $ , where $ f^{(n)} $ denotes differentiating $ f(x) $ n times 

Euler's Formula

테일러 전개식을 기반으로하여 $ e^x $ 를 무한한 다항식의 합으로 나타내면

$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} \cdots $

과 같다.

 

여기에 x 대신 $ ix $ ($ i = \sqrt{-1} $ ) 를 대입하면

$ e^x = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} + \frac{ix^3}{3!} - \frac{x^4}{4!} + \frac{ix^5}{5!} \cdots $

과 같이 되는데 홀수 지수를 가진 함수들의 합은 $ sinx $ 함수에 허수 $ i $ 를 곱한 함수 $ isinx $ 를 테일러 전개한 것과 같다.

$ isinx = ix + \frac{ix^3}{3!}  + \frac{ix^5}{5!} \cdots $

나머지 짝수 지수를 가진 함수들의 합은 $$ cosx $$ 함수를 테일러 전개한 것과 같다.

$ cosx = 1 - \frac{x^2}{2!} - \frac{x^4}{4!} \cdots $

 

$ isinx $ 와 $ cosx $ 를 테일러 전개한 것을 합하면 $ e^ix $ 를 테일러 전개한 것과 같게된다.

                                                                     $ e^{i\theta} = cosx +isinx $

이것이 바로 오일러 공식(Euler's formula)이다.

복소지수 함수를 삼각함수의 합으로 나타낼 수 있다는 것을 증명하는 공식이다.

 

오일러 공식은 complex plane 에서 $ \theta $ 값에 따른 rotation이 가능하다는 것을 증명해주는 아주 중요한 공식이기도 하다.

 

이에 관한 더 자세한 내용은 다음 포스트에서 이어 설명하도록 하겠습니다.